拥有两个答案的数学问题:把一根棍子折成三段恰可组成三角形的概率

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昨天在去教室的路上看到了这个视频封面:

一个看起来很有趣的问题。于是我便想着用微积分解决这个问题,思路是这样的:

先在木棒的任意一处折断,再在剩下的部分选择任意一处折断即可。

那么,先设木棒总长为n,在木棒x处进行第一次折断,为了方便区分第一次折断后的短端和长端,我们总是设x为折断后较短那一根木棒的长度,那么选中长度为x的点进行折断的概率是dx / (n/2) ;

再来我们要考虑我们接下来的折断是要选择长端还是短端,显然选择短端我们是无法进行下去的,选择这部分后成功组成三角形的概率为0,而选择长端的概率则是1/2;

接下来就是在长端折出能组成三角形的木棒的概率,为x/(n - x)。

综上,概率为

但是点入评论区后,发现真正的概率是1/4,这不禁让我感到懵逼,于是我又到知乎上寻找答案,终于找到了问题所在,在上面的文字中:

选择长端的概率则是1/2

这句话看起来没有什么毛病实际上是有陷阱的,如果我们是先折断再做选择的话,选择任何一端的概率当然是1/2,然而我们如果是不先做折断,而是以“先在木棒上选择三个点然后再相继折断的话”,选择长端的概率是(n-x)/n,那么概率为

这也证明了我们所采用的方法(是一边折断一边选,还是先选再折断)是会影响结果的,因为如果我们是一边折断一边选,根据人的直观感受,长短随机选当然概率都是1/2(当然你也可以说我就是看长的比较顺眼,那我也没办法...那就不是随机了),而如果是先选再折断,那么第二点选中长的一边的概率将会是(n - x) / n...

所以说,在讨论某个数学问题时,我们的主观感受也是很重要的,不要想当然。这是一个很有趣的数学问题,希望你读完之后也能有所启发。

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firefox和chrome是看不到这句话的哦~